我们需要先求出分子

如上图，

，分别过

作垂线垂直于

交

于点

.

由勾股定理，我们立即可知

在

上截取

Part2

垂足曲线

如上动图，轨迹曲线由外接圆圆心到三角形三边的垂足运动而成。我们接下来求一下它的曲线方程. 建系如下：

不妨设

，即

，设

由上期文章中的公式：

即得

这是一个极坐标方程，该曲线正是心形曲线.

Part3

反演观点

何谓“反演”？请看下图：

是圆心位于原点的单位圆中的任意一点，接下来我们找

点关于

的反演点. 我们称

是反演圆，圆心称为反演中心。连接并延长

，做过点

关于射线

的垂线交圆于点

；做过点

的切线交

于点

，则

为

的反演.（若再对点

取共轭，则得到点

的复反演

.）容易验证，反演的反演是恒等变换.

反演满足以下几何性质：

（保圆性）反演将圆映射为圆.

更确切地讲，反演将反演圆内的小圆映射为圆外的大圆，或者反过来.

若圆与反演圆相交，则其反演的像也与反演圆相交于相同的点.

特别地，若圆通过反演中心，则其像为直线。因为反演中心被反演为无穷远点，所以我们把直线视为过无穷远点的无穷大的圆.

如果我们以内切圆为反演圆，然后对外接圆、恰当三角形进行反演，则其反演的像如下：

由于直线是经过无穷远点的大圆，所以其反演像必经过反演圆圆心；又恰当三角形三边与反演圆（内切圆）相切，所以其反演像必与反演圆相切，于是恰当三角形三边被反演为过圆心直径为反演圆半径的绿色小圆.

这些小圆两两相交，每两个小圆有两个交点，其中一个是反演圆圆心（因为任意两条直线都在无穷远点相交）. 而外接圆过恰当三角形的三个角点，平面上不共线三点确定唯一的圆，所以外接圆的反演像恰过这三个角点的反演像.

所以当我们问：已知两圆，何时存在如图中三个绿色小圆？此时我们就可以利用反演，然后回到恰当三角形的存在性判别问题中.

– END –

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